通过可逆运算交换变量的值

1 介绍

交换两个变量的值除了引入临时变量，还有通过加减或异或等奇淫技巧来完成，现在来介绍其原理并且推广它们。

2 交换的原理

加减、异或都是可逆运算，现在定义一种可逆运算规则$f$,它的逆运算是$f^{-1}$，不妨设$f(a,b)=c$,则有$f^{-1}(c,a)=b$，则有如下推导,注意我用:=来表示赋值：

$\begin{align} a& :=f(a,b) \tag{1}\label{1}\\ b& :=f^{-1}(a,b)=f^{-1}(f(a,b),b)=a \tag{2}\label{2}\\ a& :=f^{-1}(a,b)=f^{-1}(f(a,b),a)=b \tag{3}\label{3} \end{align}$

可以看到，最终$a,b$交换了两者的值，因此可见只要是逆运算就可以满足要求，比如使用乘除：

a=a*b;
b=a/b;
a=a/b;

我们可以代入数字验证一下，可以发现它也是正确的。

3 交换律的影响

但是，如果你细心点，你会发现既然乘除可以，那为什么要先乘后除，或者干脆使用乘方与开方，因为它们也是一组逆运算，可是当我们这样操作会发现答案是与预期不符的。因为问题出在交换律上。

3.1 $f$与$f^{-1}$只有一者满足交换律

如果$f(a,b)\not= f(b,a)$,我们也就能得出$f^{-1}(c,a)\not=f^{-1}(c,b)$,而公式$\eqref{2}\eqref{3}$正是依赖于此的。也可这样想，不妨设$f(a,b)=c_1,f(b,a)=c_2$，则正确的应该是$f^{-1}(c_1,a)=b,f^{-1}(c_2,b)=a$。所以运算规则$f$应满足交换律，其逆运算则无要求。

那么，如果$f$不满足交换律，可以实现交换变量而不引入临时变量吗？答案当然是可以的，不过这就对不同的$f$就有不同的方法了，因为我们要知道$c_1$与$c_2$的关系，如果$f$是减法，则$c_1=-c_2$;如果是除法，则$c_1=c_2^{-1}$。

3.2 $f$与$f^{-1}$都不满足交换律

这个条件下很好的例子就是矩阵和幂两种。矩阵涉及左乘、右乘、逆；幂涉及乘方、开方、对数。它们的运算时涉及到三种运算规则的。

以矩阵为例：

$\begin{align} A&:=AB\\ B&:=AB^{-1}=ABB^{-1}=A\\ A&:=B^{-1}A=A^{-1}AB=B\\ \end{align}$

幂运算：

$\begin{align} a&:=a^b\\ b&:=\sqrt[b]{a}=\sqrt[b]{a^b}=a\\ a&:=\log_{a}{a}=\log_{a}{a^b}=b \end{align}$

这种情况下是每种运算规则都是需要用到才能完成交换的。

3.3 $f$与$f^{-1}$都满足交换律

这个的最好的例子就是异或运算$\oplus $,因为它除了自身就满足交换，同时它的逆运算就是自身$f=f^{-1}$,

$\begin{align} a&:=a\oplus b\\ b&:=a\oplus b=a\oplus b\oplus b =a\\ a&:=a\oplus b=a\oplus b\oplus a =b \end{align}$

4 总结

主要讲了讲这种变量交换操作的背后原理即推广，但是需要提醒的是在实际应用中，我还是建议通过临时变量来进行交换，上面的操作虽然给人眼前一亮，同时也有理论支持，可应用在实际中还是可能会出现错误，比如溢出，甚至交换变量类型根本就不是数字。我的建议是虽然这很有趣但请不要用。