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介绍

  先介绍二维旋转变换，然后由此推广到三维绕坐标轴旋转，再推广得到绕三维任意轴旋转的罗德里格斯旋转公式。

1.二维

  如果要求$P$逆时针旋转$\theta$得到的$P^{‘}$，记$Q$为$P$逆时针旋转90°后的向量,即$(-P_y,P_x)$,则$P$与$Q$正好组成了该平面内的一组正交向量，任何向量都可由其线性表出，由基本几何和三角学可得到：

$$P^{'}=Pcos\theta+Qsin\theta$$

则

$$\begin{aligned}P_x^{'}&=P_xcos\theta-P_ysin\theta\\ P_{y}^{'}&=P_ysin\theta-P_xcos\theta\\ \end{aligned}$$

写成矩阵为

$$P^{'}=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}P$$

2.三维绕坐标轴旋转

  注意$R_y(\theta)$与其他不同是因为如果按照逆时针旋转，由$x\times z=-y$,则得到$y$轴负方向，因此需改为顺时针，即$-\theta$,这无论是在左手坐标系还是右手系都是相同的。

3. 三维绕任意轴旋转

向量$P$绕任意轴$A$旋转$\theta$角度证明：

  不妨设$A$为单位向量，同时$P$可分解为与$A$平行和垂直的两个分量，分别为：

$$\begin{align} P_{projA}&=(A\cdot P)A=AA^TP\\ P_{perpA}&=P-(A\cdot P)A=P-AA^TP \end{align}$$

如图所示

故最终结果

$$P^{'}=P_{perpA}^{'}+P_{ProjA}$$

其中$P_{PerpA}^{'}$为$P_{perpA}$旋转$\theta$后得到的向量，如图

为求得其值，需找到一组线性组合来表示它，可选$P_{perpA}$与其旋转90°后的向量这两个向量作为组合，可以得知$A\times P$即为该向量，同时它的长度是与$P_{perpA}$相等的，这是因为

$$|A\times P|=|P|sin\alpha=|P-(A\cdot P)A|$$

所以

$$P_{perpA}^{'}=[P-(A\cdot P)A]cos\theta+(A \times P)sin \theta$$

所以

$$\begin{align} P^{'}&=[P-(A\cdot P)A]cos\theta+(A \times P)sin \theta+(A\cdot P)A\\ &=Pcos\theta+A\times P sin\theta+(A\cdot P)A(1-cos\theta) \end{align}$$

记$I$为单位阵，则矩阵形式为

$$P^{'}=\{Icos\theta+\begin{bmatrix} 0&-A_z&A_y\\A_z&0&-A_x\\-A_y&A_x&0\end{bmatrix}sin\theta+AA^T(1-cos\theta)\}P$$

其中记

$$R=Icos\theta+\begin{bmatrix} 0&-A_z&A_y\\A_z&0&-A_x\\-A_y&A_x&0\end{bmatrix}sin\theta+AA^T(1-cos\theta)$$

为罗德里格斯旋转公式，而将其展开写成一个矩阵就可得到旋转矩阵。