以下$F$为向量场,$\mathbf{n}$为法向量，$\mathbf{\tau}$为切向量。

1. Gauss

$$\int_{V}\nabla\cdot Fdv=\int_{S}F\cdot d\mathbf{A}=\int_{S}F\cdot \mathbf{n}dA$$

2. Stokes

$$\int_{S}\nabla\times F\cdot d\mathbf{A}=\int_{S}\nabla\times F\cdot \mathbf{n}dA=\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf{l}=\oint_{\partial S}F\cdot \mathbf{\tau}dl$$

3. Green

3.1 散度形式

$$\int_{S}\nabla\cdot F dA=\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf{l}=\int_{\partial S}F\cdot\mathbf{n}dl$$

3.2 旋度形式

$$\int_{S}\nabla\times F\cdot d\mathbf{A}=\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf{l}=\oint_{\partial S}F\cdot \mathbf{\tau}dl$$

4. 说明

  可理解为内部区域的性质通过边界来反映，即：

1. Gauss:内部体积元的散度积分等于表面通量积分
2. Stokes:表面面积元矢量的旋度积分等于边界的环量积分
3. Green:两个形式分别为以上的退化形式