1.基本概念

  feature line分为flat、concave、convex三种，由integrated curvature的$\theta$根据阈值$\bar \theta$判定:

$$\left\{ \begin{aligned} &\mathrm{flat},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\theta|<\bar\theta \\ &\mathrm{concave},\ \ \ \ \theta<-\bar\theta\\ &\mathrm{convex},\ \ \ \ \ \ \theta>\bar\theta\\ \end{aligned} \right.$$

这里$\bar \theta=10^{\circ}$，例子如下图

  标架场采用《Mixed-integer quadrangulation》中的方法建立

2.Field-Coherent Loops

  由标架场引导出field-coherent geodesic path:$\ell$切线与p点标架夹角小于$\frac{\pi}{4}$。为了描述其偏离程度使用以下公式

$$\|w\|_{\mathrm{X}}=|w|\left(1+\alpha \frac{\angle\left(p_{\theta}, w\right)}{\pi / 4}\right)$$

其中$w$为切向量，$p_{\theta}$为标架之一，$\alpha$为惩罚系数。我们的目标是由点沿着field-coherent geodesic path返回点，即得到闭合曲线。而上述公式是为了避免造成过度偏离现象，如下图

  定义曲线之间的距离如下：

$$d\left(\ell_{i}, \ell_{j}\right)=\frac{1}{\left|\ell_{j}\right|} \int_{\ell_{j}} \operatorname{dist}\left(\ell_{i}, p_{\theta}\right) d p_{\theta}$$

其中$\operatorname{dist}\left(\ell_{i}, p_{\theta}\right)$为$p_{\theta}$与$\ell$之间的最短field-coherent geodesic path长度。

  设loop集合$\mathcal{L}=\{\ell_1 \dots \ell_k \}$,而$\ell \notin \mathcal{L}$，

$$d(\mathcal{L}, \ell)=\frac{1}{|\ell|} \int_{\ell} \min _{\ell_{i} \in \mathcal{L}} \operatorname{dist}\left(\ell_{i}, p_{\theta}\right) d p_{\theta}$$

则离$\mathcal{L}$最远的$\bar \ell$为

$$\bar{\ell}=\operatorname{argmax}_{\ell \in \mathrm{L}} d(\mathcal{L}, \ell)$$

3.特征loop

  维护一个初始队列$Q$用来装loop,feature line $\ell$ 分为两类处理，如下：

1. 闭合：如果为flat特征则加入$Q$队列;如果为concave,拷贝正反方向两份入队
2. 非闭合：如果为flat拓展成一个loop入队，如果为concave,沿两端点分别生成两个loop入队

4.采样最远loop

  每次采样最远的loop加入$Q$中，其终止条件需满足以下两个：

1. Topological integrity ：Q中每个loop至少与其他loop相交三次。
2. Geometric fit ：path的面积与polyon的面积相差不超过阈值

5. 维护采样池

  定义$\bar Q=Q \cup C\mathcal{F}$,其中$C\mathcal{F}$为convex feature,通过以下两种方式创建采样池$\mathcal{P}$:

1. 以固定间隔采样$\bar Q$中loop,对其中每个loop，跟踪一个垂直它自己新loop加入采样池$\mathcal{P}$，新loop需满足与$\bar Q$中loop不正切相交
2. 在表面进行泊松分布采样（Poisson-Disk Sampling）获得点集$\mathrm{P}$,对于每个$p\in \mathrm{P}$跟踪两条新的loop,同样的他们需要满足与$\bar Q$中的不正切相交，加入采样池$\mathcal{P}$

每当从$\mathcal{P}$中选择一条最远loop加入$Q$中后，需要对采样池$\mathcal{P}$用方法1重新装填新的loop进去。

  为提高Topological integrity，从采样池中选取loop不再是简单的选择与$\bar Q$中最远的loop,而使用新的规则：设$\hat Q$为$Q$的子集且不满足Topological integrity条件，我们使采样池$\mathcal{P}$中与$\hat Q$中相交的loop具有更大的优先度被选择，即除了距离因素外加入相交次数作为优先度来快速提高拓扑完整性。根据以上规则在采样池中选择与$\bar Q$最远的loop$\ell$ 加入$Q$,然后在采样池$\mathcal{P}$中移除所有与$\ell$正切相交的loop,并重新跟踪它们的源点$p \in \mathrm{P}$的两条正交loop(满足与新更新的$\bar Q$中的loop不正切相交)

6. 输出

  输出由两部分组成：队列$Q$与凸特征$C\mathcal{F}$。其中每个loop都以$((p_1,n_1)\dots(p_h,n_h))$形式给出，$p$为点，$n$为法向量。

  需要注意不是每个非闭合的feature都可以拓展成闭合loop，在拓展feature loop时也可能产生自相交的loop(这种类型舍弃)，而那些无法闭合的feature我们把它们称为incomplete loop并加入$Q$，在下一个阶段进行处理。

附1.Tracing loops

  trace loop使用《Tracing Field-Coherent Quad Layouts 》的方法在一个拓展出来的图$\mathcal{G}$上进行Dijkstra 算法，其中图$\mathcal{G}$由曲面M上的边和顶点，还有边上的采样得到斯坦纳点（Steiner point）和连接斯坦纳点和顶点的边组成。不同的是，这里的

  距离测量：对于集合$\mathcal{L}$中的每条loop,在每条loop上的每个点作为源点跑Dijkstra,从而找到最远的$\ell \notin \mathcal{L}$（这里很耗时）

  传播限制：在做Dijkstra时，搜索路径不能与$\bar Q$正切相交

附2.相交说明

1. 正切相交判断：曲线相交，标架平行
2. 垂直相交判断：曲线相交，标架相交