该论文以基函数来描述标架，首先说明了该方法在2D下的可行性，然后拓展到3D形式。3D形式延续《Boundary aligned smooth 3D cross-frame field》中使用球谐函数作为基函数，不同的是该文使用了不同的多项式$x^4+y^4+z^4$来在球上展开，并重新定义了目标函数，优化了求解，速度和质量都得到提升。

一、 2D

1.定义

  该文采用基函数来表示标架：

$$\begin{gather} let \quad \tilde{F}(\alpha)=cos(4\alpha)\quad \alpha \in[0,2\pi]\\ \therefore F(\alpha)=\tilde{F}(\alpha-\theta)=cos(4\alpha-4\theta)=cos(4\theta)cos(4\alpha)+sin(4\theta)sin(4\alpha) \\ let\quad B=(cos(4\alpha),sin(4\alpha)),a=(cos(4\theta),sin(4\theta))^{\top}\\ \therefore F=Ba \end{gather}$$

即用$\tilde F$表示参考标架函数，$F$表示旋转$\theta$后的标架函数，下图是说明。

2. 能量函数

  定义能量函数如下：

$$\begin{aligned} E &=\sum_{i j} \int_{0}^{2 \pi}\left(F^{j}(\alpha)-F^{i}(\alpha)\right)^{2}d\alpha \\ &=\sum_{i j} \int_{0}^{2 \pi}\left(B a^{j}-B a^{i}\right)^{2}d\alpha\\ &=\sum_{i j}\left(a^{j}-a^{i}\right)^{\top}\left(\int_{0}^{2 \pi} B^{\top} B d \alpha\right)\left(a^{j}-a^{i}\right) \\ &=\pi \sum_{i j}\left\|a^{j}-a^{i}\right\|^{2} \end{aligned}$$

ps:最后一步可以化简是因为$B$是正交的，且模长为$\sqrt{\pi}$。

3. 矩阵化

  定义边界或限制条件如下,

$$a_{0}^{i}=\cos \left(4 \theta^{i}\right) ; \quad a_{1}^{i}=\sin \left(4 \theta^{i}\right)$$

即$\theta^i$是指定标架的方向，如为边界，即为法向方向。

  将$E$转换成$||AX-b||^2$形式，其中$X_{2i}=a_{0}^{i}，X_{2i+1}=a_{1}^{i}$，所以$X$是$2n$维向量，$n$为顶点数，定义初始条件如下，

$$\begin{aligned} \sqrt{\pi}\left(X_{2 i}-X_{2 j}\right) &=0 \\ \sqrt{\pi}\left(X_{2 i+1}-X_{2 j+1}\right) &=0 \end{aligned}$$

即相邻点相等。

  边界条件设置如下，

$$\begin{aligned} C X_{2 i} &=C \cos 4 \theta^{i} \\ C X_{2 i+1} &=C \sin 4 \theta^{i} \end{aligned}$$

其中$C=100$,为常数（经验得来）。

  其中$b=\mathbf{0}$,$2\mathcal{E}\times2n$矩阵$A$如下($\mathcal{E}$为边),下标是行，上标是列

$$A=\left\{\begin{aligned}&a_{\mathcal{E}_{ij}}^{2i}=a_{\mathcal{E}_{ij}}^{2i+1}=1,a_{\mathcal{E}_{ij}+1}^{2j}=a_{\mathcal{E}_{ij}+1}^{2j+1}=-1\ \ \ &&edge(v_i,v_j)\in \mathcal{E}\\&0 &&other\end{aligned}\right.$$

最小二乘方程的解等价于$A^{\top} AX=A^{\top}b$

  解出该最小二乘方程后，可得到解并标准化：

$$a^{i} \leftarrow\left(X_{2 i}, X_{2 i+1}\right)^{\top} /\left\|\left(X_{2 i}, X_{2 i+1}\right)\right\|$$