标架表示方法

  3d标架存在24个方向（坐标轴有6个选择，垂直它的有4种，即6x4=24种），为了表述两个相邻标架的差异，采用基函数来表示四面体网格面上的标架，而不是采用以前的使用vector pair来表示（避免了混合整数规划问题）,该文首先提出了采用球谐函数作为基函数来描述标架,从而可以通过积分来描述标架的差异并据此定义能量函数来优化 ，最后使用L-BFGS来光滑标架场，该方法同时支持表面法向量约束对齐。

1. 标架表示

  该文中用$h(t)=t_x^2t_y^2+t_y^2t_z^2+t_z^2t_x^2$来表示标架，将分解成球谐基函数表示

$$f_{[I]}=-\frac{2 \sqrt{\pi}}{15}\left(Y_{4}^{0}+\sqrt{\frac{5}{7}} Y_{4}^{4}+16 \sqrt{\pi} Y_{0}^{0}\right)$$

考虑比较比较两标架的差异时无需常数项，进而简化成

$$f_{[I]}=\sqrt{7}Y_{4}^{0}+\sqrt{5} Y_{4}^{4}$$

又由球谐函数的旋转不变性，则

$$f_{[R]}(s)=h(R^{\top}s)$$

其中R是旋转矩阵。进入可用以下目标函数表示两标架之间的差异

$$\int_{S^{2}}\left(f_{\left[R_{a}\right]}(s)-f_{\left[R_{b}\right]}(s)\right)^{2} d s=\left\|\hat{R}_{a} \hat{h}-\hat{R}_{b} \hat{h}\right\|^{2}$$

2.约束

  表面约束为标架方向之一与法向量对齐，作者证明了当且仅当$\hat{f}(4)=\sqrt{7}$,即参考标架向量的第四个系数为常数，进而约束可分为两步：1.旋转法向量到z轴（需要旋转矩阵）；2.对齐法向量

3.优化目标

  作者为了平滑效果和避免因网格密度造成的不均匀采样，将优化目标转换成了球谐函数的系数的梯度。

$$\nabla \hat{f}(k)=\sum_{i=1}^{4} \hat{f}_{p_{i}}(k) \nabla w_{i}$$

以上通过四面体网格面上的标架导出四面体标架系数的梯度，其中$w_i$是四面体每个面的重心的梯度（具体计算方法）

  通过体积分计算全局的量，

$$E_{s}\left(\mathrm{TET}_{j}\right)=E_{s}(p)=\sum_{k=0}^{8}\|\nabla \hat{f}(k)\|^{2}, p \in \mathrm{TET}_{j}$$

  通过面积分计算表面约束，

$$\begin{aligned} E_{a} &=\int_{\partial \Omega}\left\|\left(\hat{R}_{n_{p} \rightarrow z} \hat{f}_{p}\right)(4)-\sqrt{7}\right\|^{2} d p \\ & \approx \sum_{\mathrm{TRI}_{i} \in \partial \Omega} \operatorname{area}\left(\mathrm{TRI}_{i}\right)\left\|\left(\hat{R}_{n_{i} \rightarrow z} \hat{f}_{p_{i}}\right)(4)-\sqrt{7}\right\|^{2} \end{aligned}$$

考虑到体积分和面积分造成的权重不一致，则总的能量函数为

$$E_{f}=\frac{E_{s}}{\operatorname{volume}(\Omega)^{1 / 3}}+w_{a} \frac{E_{a}}{\operatorname{area}(\partial \Omega)}$$

其中$w_a$是对齐约束的惩罚系数。

  至此解出$\arg \min_{\hat f}{E_f(\hat{f})}$,但是它是一个嵌入在九维空间的三维流形，需将它投影到三维，生成一个初始旋转$\Phi_{i}$,将其映射回九维，并作$L^2$范数的优化,得到$\hat f$在三维的近似表示

$$\Phi_{0, i} \leftarrow \arg \min _{\Phi_{i}}\left\|\hat{f}_{0, i}-\hat{R}\left(\Phi_{i}\right) \hat{h}\right\|^{2}$$

最后使用L-BFGS迭代使 标架场光滑$\arg \min _{\Phi} E_{f}\left(\hat{f}_{[R(\Phi)]}\right)$