1.高维分部积分

  回忆下最基本的分部积分

$$\begin{array}{c} \int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int u^{\prime}(x) v(x) d x \\ \int u d v=u v-\int v d u \end{array}$$

  对于高维，无非是多了基底，对每个基的方向使用分部积分

$$\begin{aligned} \int_{\Omega}\frac{\partial u}{\partial x_i}v_id\Omega&=\int_{\Omega}v_idu \\&= \int_\Gamma uv_in_id\Gamma-\int_{\Omega}udv_i\\ &=\int_\Gamma uv_in_id\Gamma-\int_{\Omega}u\frac{\partial v_i}{x_i}d\Omega\\ \end{aligned}$$

对$i$求和，写成散度形式，

$$\int_{\Omega}\nabla u\cdot vd\Omega=\int_\Gamma uv\cdot d\Gamma-\int_{\Omega}u\nabla \cdot vd\Omega\\$$

2.格林第一恒等式（Green’s First Identities）

  把$v$用$\nabla v$代，即用梯度场代替，则变为

$$\begin{aligned} \int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla vd\Omega&=\int_\Gamma u\nabla v\cdot d\Gamma-\int_{\Omega}u\nabla \cdot \nabla vd\Omega\\ &=\int_\Gamma u\nabla v\cdot d\Gamma-\int_{\Omega}u\Delta vd\Omega \end{aligned}$$

或写成

$$\int_{\Omega}(\nabla u\cdot \nabla v+u\Delta v)d\Omega=\int_\Gamma u\nabla v\cdot d\Gamma=\int_{\Gamma}u\frac{\partial v}{\partial n}d\Gamma$$

上式第二个等号用了方向导数的定义$\nabla v\cdot n=\frac{\partial v}{\partial n}$。

注：若令分部积分中$u=1$,则变为散度定理。

3. 格林第二恒等式（Green’s Second Identities）

  根据格林第一恒等式，推导格林第二恒等式。交换格林第一恒等式中的$u,v$有,

$$\int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla vd\Omega=\int_\Gamma v\nabla u\cdot d\Gamma-\int_{\Omega}v\Delta ud\Omega$$

再根第一恒等式相减，得到第二恒等式

$$\int_{\Gamma}(u\nabla v-v\nabla u)\cdot d\Gamma=\int_{\Gamma}(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}) d\Gamma=\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)d\Omega$$

4. 格林第三恒等式（Green’s Third Identities）

  设函数 G 是拉普拉斯方程的基本解,其满足

$$\Delta G(P,Q)=\delta(P-Q)$$

其中$G$是格林函数，$\delta$是狄拉克$\delta$函数。

  若$P,Q\in \Omega,P^{\prime},Q^{\prime} \in \partial \Omega$，将其代入第二恒等式，令$v=G$，分别对$Q^{\prime},Q$积分，则

$$\begin{aligned} \int_{\Gamma}[u(Q^{\prime})\frac{\partial G(P,Q^{\prime})}{\partial n} -G(P,Q^{\prime})\frac{\partial u(Q^{\prime})}{\partial n}]d\Gamma=\int_{\Omega}[u(Q)\Delta G(P,Q)-G(P,Q)\Delta u(Q)]d\Omega \quad \end{aligned}$$

  根据狄拉克$\delta$函数的平移特性$\int_{\Omega}f(t)\delta(t-T)dt=f(T)$,有

$$\int_{\Omega}u(Q)\Delta G(P,Q)d \Omega=\int_{\Omega}u(Q)\delta(P-Q)d \Omega=u(P)$$

则

$$\begin{aligned} u(P)-\int_{\Omega}G(P,Q)\Delta u(Q)d\Omega=\int_{\Gamma}[u(Q^{\prime})\frac{\partial G(P,Q^{\prime})}{\partial n} -G(P,Q^{\prime})\frac{\partial u(Q^{\prime})}{\partial n}]d\Gamma \end{aligned}$$

这就是第三恒等式。

5. 边界元(Boundary Element Method)

  对于第三恒等式，若$\Delta u(Q)=0$,则

$$u(P)=\int_{\Gamma}[u(Q^{\prime})\frac{\partial G(P,Q^{\prime})}{\partial n} -G(P,Q^{\prime})\frac{\partial u(Q^{\prime})}{\partial n}]d\Gamma \quad P\in \Omega$$

这就是边界元法的内部的等式，可以看到该方法是在$\Delta u(Q)=0$条件下成立的。

  对于边界元法，当$P^{\prime}\in \partial \Omega$时，不再适用上式，因为在边界上时，若$P^{\prime}$与$Q^{\prime}$重合时，$G$会奇异，对于这种情况，可用半径为$\varepsilon$的圆包围$Q^{\prime}$,然后写成分段形式，并取极限$\varepsilon \rightarrow0$,可得到

$$c(P^{\prime})u(P^{\prime})=\int_{\Gamma}[u(Q^{\prime})\frac{\partial G(P,Q^{\prime})}{\partial n} -G(P,Q^{\prime})\frac{\partial u(Q^{\prime})}{\partial n}]d\Gamma \quad P^{\prime}\in \partial\Omega$$

其中$c(P^{\prime})=\frac{\theta(P^{\prime})}{2\pi}$，$\theta(P^{\prime})$是包含$P^{\prime}$的内部圆弧的角度，通常对于光滑边界，$\theta(P^{\prime})=\pi$,则就引出我们常见边界上的形式

$$\frac{1}{2}u(P^{\prime})=\int_{\Gamma}[u(Q^{\prime})\frac{\partial G(P,Q^{\prime})}{\partial n} -G(P,Q^{\prime})\frac{\partial u(Q^{\prime})}{\partial n}]d\Gamma \quad P^{\prime}\in \partial\Omega$$